En el lenguaje de las matemáticas, específicamente la geometría diferencial y la geometría elemental, la curva también llamado Línea curvaes una línea unidimensional continua que puede cambiar gradualmente de dirección.
Círculo, óvalo, cicloide o elipse son ejemplos simples de curvas cerradas simples.
Mientras que la categoría de curvas abiertas incluye parábola, catenaria, hipérbola y un gran número de curvas estudiadas en geometría analítica plana.
Todas las curvas están compuestas por una dimensión topológica igual a 1. La noción de curva, junto con la de superficie, es uno de los objetos más importantes de la geometría diferencial, es ampliamente utilizada y aplicada en herramientas de cálculo diferencial.
La línea curva se puede clasificar en:
curva elemental
Una imagen que contiene un conjunto de puntos en el espacio obtenido por un mapa topológico que tiene un segmento de línea abierto es una curva elemental. Sea γ una curva elemental y sea también a < t < b el segmento abierto por el cual obtenemos el mapa f de la curva correspondiente al punto t del segmento.
El sistema de igualdades construye paramétricamente las ecuaciones de la curva.
Curva única
La definición de una curva simple suele ser bastante intrigante, es decir, de varios conceptos y tipos. Para evitar autointersecciones, extremos y puntos singulares, el concepto de curva simple se define como la curva en la que en cualquier punto p existe una vecindad abierta de Ω en la que se incluye una representación de clase.
curva plana
Una curva plana se define como una curva que se encuentra en un solo plano y puede ser cerrada o abierta. También se considera curva plana la representación gráfica de una función real que tiene una variable real.
Curva diferenciable
Una curva es diferenciable cuando la función x: [a, b] CI->Rno es diferenciable. Además, si la función anterior es inyectiva en el intervalo (a, b) entonces eso significa que la curva admite sólo un vector tangente en cada uno de sus puntos y es rectificable. Esto significa que su longitud de arco está correctamente definida y se puede calcular su longitud.
curva cerrada
La curva es cerrada cuando es una curva homeomorfa simple y tiene un círculo. La parte común de la curva δ se denomina vecindad de un punto W de una curva simple δ, en una vecindad espacial del punto W. Entonces cada punto de una curva simple tiene una vecindad que forma parte de la curva elemental.
curva suave
Una curva suave se define como una curva que no tiene puntos afilados. Ejemplos de este tipo de curvas pueden ser la elipse, la parábola, la circunferencia, entre otras. Una curva que no es suave puede ser una cicloide.
Curva suave por partes
Una curva C es suave por partes si también lo es en todo el intervalo ubicado en una partición de I, esto significa que el intervalo se puede dividir en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave.
Curva no diferenciable
Cuando la función que da el concepto a la curva es diferenciable, entonces se dice que la curva es diferenciable. Una curva derivable tiene la característica de admitir una recta tangente en todos sus puntos.
Una curva con un número finito de puntos donde no hay diferenciabilidad es una curva diferenciable por tramos. Cuando el número de puntos no es finito, puede ocurrir que una curva continua no pueda ser rectificada en ninguno de sus puntos.
Esto significa que la tangente no se puede definir en ningún punto. En tales situaciones, la longitud de la curva no es una cantidad finita y puede suceder que la curva tenga una longitud infinita, aunque ocupe una región finita del espacio.